Démontrer qu'on a existence et unicité de \(P_C(x)\) vérifiant \((1)\) :

On pose \(\delta\) la distance entre \(x\) et \(C\) (bien définie car \(C\) fermé) et on pose une suite de fermés \(F_n=B^\prime(x,\delta+\frac1n)\cap C\).

Il suffit de montrer que le diamètre de \(F_n\) tend vers \(0\), et de conclure par Lemme des fermés emboîtés.

Pour deux points \(y,z\in F_n\), on peut majorer leur distance à \(x\) via le fait qu'ils sont dans la boule, puis utiliser l'identité du parallélogramme.

On peut réécrire cette inégalité en isolant \(\lVert y-z\rVert^2\) et en faisant apparaître le milieu de \(y\) et \(z\) via un théorème belge.

Ce milieu est également un point de \(C\) (par Convexité), donc sa distance à \(x\) est \(\geqslant\delta\), ce qui nous permet de conclure.

Démontrer \((1)\implies(2)\) :

Le barycentre de \(P_C(x)\) avec un autre élément de \(C\) est plus éloigné de \(x\) que \(P_C(x)\) par hypothèse.

On a alors une majoration en développant

On a alors le résultat en divisant par \(\theta\) des deux côtés et en passant à la limite.

Démontrer \((2)\implies(1)\) :

Le résultat vient directement, en développant la distance \(\lVert x-y\rVert^2\) via un théorème belge avec \(P_C(x)\).

On admet l'inégalité suivante : $$\forall a,b\in{\Bbb R},\quad\frac{\lvert a\rvert^4+\lvert b\rvert^4}{2}-\left|\frac{a+b}{2}\right|^4\geqslant\frac{\lvert a-b\rvert^4}{16}$$
Montrer l'existence du projeté sur un convexe fermé dans \(L^4\).

Par translation, on suppose \(f=0\).

On considère une suite minimisante pour la distance.

On montre que la suite est de Cauchy en utilisant l'inégalité donnée.

Elle est bien de Cauchy dans un espace complet (fermé d'un complet), donc on a bien l'existence.